MAKALAH TENTANG NILAI MUTLAK(Mata kuliah Kalkulus)

BAB I
PENDAHULUAN


        Pendahuluan

  Dalam pembuatan makalah ini, kami memilih judul “Nilai Mutlak” karena, Materi ini merupakan teori dasar yang biasa sering digunakan dalam kehidupan sehari - hari.

Dalam Maklah ini kita akan membahas tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, dalam bagian makalah ini dibahas tentang nilai mutlak, Persamaan Nilai mutlak, sifat-sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Materi ini merupakan Persyaratan dasar dalam Mempelajari kalkulus Lainnya.

Dan tidak hanya itu, dalam pengambilan judul ini karena, masih banyak beberapa pembaca yang belum mengetahui dan memahami tentang materi ini. Sehingga sering membuat keliruan dalam mengaplikasikanya dalam kehidupan sehari – hari.


        Tujuan
        Adapun tujuan dalam pembuatan Maklah ini, yakni :
·         Memberikan dan menambah wawasan kepada pembaca.
·         memberikan kemudahan dalam pembelajaran
·         Dan diutamakan untuk memenuhi tugas Kapita Selekta.
  
BAB II
PEMBAHASAN


 PENGERTIAN NILAI MUTLAK

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini NILAInya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif.

   Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahas sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai  nilai mutlak.
Jadi,  Nilai Mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian nilai mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x.
Nilai mutlak atau disebut juga nilai absolut menggambarkan jarak nomor di baris nomor dari 0 tanpa mempertimbangkan jumlah dari arah mana nol terletak. Nilai absolut dari nomor tidak pernah negatif.
Penjelasan Nilai Mutlak
Misalnya Nilai absolut dari 5 adalah 5 (jarak dari 0 yaitu 5 unit), Nilai mutlak dari -5 adalah 5 (jarak dari 0: 5 unit). Lihat gambar:
Nilai mutlak dari 2 + -7 adalah 5 (jumlah jarak dari 0: 5 unit). Lihat gambar:
Nilai mutlak dari 0 = 0, kita tidak mengatakan bahwa nilai absolut tersebut dari angka positif.Nol tidak negatif atau positif. Lihat gambar:
Mari kita lanjutkan belajar nilai mutlak dengan contohnya di bawah ini.
Simbol untuk nilai mutlak adalah dua garis lurus, sekitarnya jumlah atau ekspresi yang mengindikasikan nilai mutlak.
| 6 | = 6 berarti nilai absolut dari 6 adalah 6.
| -6 | = 6 berarti nilai absolut dari negative6 adalah 6.
| -2 – x | berarti nilai absolut dari negative2 dikurangi x.
– | x | berarti nilai negatif dari nilai absolut dari x.


Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan
:
| x | = -x    jika x ≥ 0
| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :
Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7    
 | 0 | = 0    
 | -4 | = -(-4) = 4

Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.
  













PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.


| x | = a   dengan a > 0
Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.


Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak titik tersebut ke nol sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke 0 sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.


| x | < a  untuk a > 0
Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.


Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.




| x | > a  untuk a > 0
Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.


Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a    x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a    -a < x < a
c.  | x | > a    x < -a  atau  x > a


Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3  
 2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3  
 2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3  
 x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.


Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4|  
 2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
|2x - 1| = |x + 4|  
 x = 5  atau  3x = -3
|2x - 1| = |x + 4|  
 x = 5  atau  x = -1
Jadi, HP = {-1, 5}.

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7  
 -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7  
 -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7  
 -3 < x < 4
Jadi, HP = {-3 < x < 4}.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  
 4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  
 4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  
 x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.


Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|3x - 2| ≥ |2x + 7| 
 3x - 2 ≤ -(2x + 7)  atau  3x - 2 ≥ 2x + 7
 5x ≤ -5  atau  x ≥ 9
 x ≤ -1  atau  x ≥ 9

Jadi, HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}


Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 < |x - 1| < 4

Jawab :
Ingat : a < x < b  
  x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2  dan  |x - 1| < 4

Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2  
 x - 1 < -2  atau  x - 1 > 2
|x - 1| > 2  
 x < -1  atau  x > 3   ................(1)

Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4  
 -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4  
 -3 < x < 5   ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut

Jadi, HP = {-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}


Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi
|ax + b| = ax + b       jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b)   jika x < -b/a

Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.

Contoh 7
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :

a.  |4x - 3|
b.  |2x + 8|

Jawab :
a.  Untuk |4x - 3|
     |4x - 3| = 4x - 3       jika  x ≥ 3/4
     |4x - 3| = -(4x - 3)   jika  x < 3/4

b.  Untuk  |2x + 8|
     |2x + 8| = 2x + 8       jika  x ≥ -4
     |2x + 8| = -(2x + 8)   jika  x < -4


Contoh 8
Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...

Jawab :
|x - 2| = x - 2       jika  x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2)   jika  x < 2

Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1  
 x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  
 -x = 3
|x - 2| = 2x + 1  
 x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1  
 -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  
 -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  
 -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1  
 x = 1/3
Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.
BAB IV
PENUTUP

 Kesimpulan

            Telah kita ketahui bahwa matematika adalah ilmu dasar dari hamper semua mata pelajaran, dan sering digunakan pula dalam kehidupan sehari – hari. dalam materi nilai mutlak merupakan salah satu ilmu yang biasa digunakan dalam pembangunan,  karena hasil nilai yang selalu positif memudahkan untuk menyelesaikan berbagi mascam masalah. dan kaerana sifat-sifatnya yang tidak terlalu banyak dan mudah dipahami. sehingga membuat materi ini sering diaplikasikan kedalam kehidupan sehari-hari.

 Saran
            Dalam mempelajari materi nilai mutlak ini, terlebih dahulu kita harus memahami konsep dari nilai mutlak itu sendiri, sehingga kita bisa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal baik persamaan maupun pertidaksamaan nilai mutlak.dengan mempelajari materi nilai mutlakjuga, kita bisa menerapkanya dalam kehidupan sehari-hari, contohnya ; jika kita ingin menghitung jarak antar kota yang satu dengan kota yang lain atau jarak antara dua patok tertentu kita bisa menggunakan konsep nilai mutlak.

Penutup

            Sekian materi yang dapat kami sampaikan, semoga materi yang terkandung dalam makalah ini, bermanfaat bagi pembaca. Ucapan terimakasih tidak luput kami ucapkan kepada dosen pembimbing kami (Muthia Dewi, M.Pd) yang telah memberikan arahan kepada kami untuk menyelesaikan makalah ini, sehingga selesai tepat dengan waktunya . Dan kami semuapun tau bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran kepada pembaca sangatlah kami harapkan utuk penyempurnaan makalah ini atau berikutnya. Dan diakhir kata kami ucapkan.


DAFTAR PUSTAKA

http://www.space.com/spacelwatch/sun_cam_animated.html
http://www.w3.org/1999/xhtml
http://id.wikepedia.com
http:// Indonesia.org.com

http:// id.pengetahuan.co.id
http://binasetya.co.id
http://bobbyfiles.wordpers.com




Comments

Popular posts from this blog

Contoh Itinerary ( Jadwal Perjalanan Dinas/Pimpinan dalam Bahasa Inggris)

Contoh Agenda pimpinan dan Perjalanan Dinas Pimpinan

CONTOH PROPOSAL PENGAJUAN BEASISWA YANG PERNAH DITERIMA