MAKALAH TENTANG NILAI MUTLAK(Mata kuliah Kalkulus)
BAB I
PENDAHULUAN
Pendahuluan
Dalam
pembuatan makalah ini, kami memilih judul “Nilai Mutlak” karena, Materi ini
merupakan teori dasar yang biasa sering digunakan dalam kehidupan sehari -
hari.
Dalam
Maklah ini kita akan membahas tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai
Mutlak, dalam bagian makalah ini dibahas tentang nilai
mutlak,
Persamaan Nilai mutlak, sifat-sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Materi ini
merupakan Persyaratan dasar dalam Mempelajari kalkulus
Lainnya.
Dan tidak hanya itu, dalam pengambilan judul ini
karena, masih banyak beberapa pembaca yang belum mengetahui dan memahami
tentang materi ini. Sehingga sering membuat keliruan dalam mengaplikasikanya
dalam kehidupan sehari – hari.
Tujuan
Adapun
tujuan dalam pembuatan Maklah ini, yakni :
·
Memberikan dan menambah wawasan kepada pembaca.
·
memberikan kemudahan dalam pembelajaran
·
Dan diutamakan untuk memenuhi tugas Kapita Selekta.
BAB II
PEMBAHASAN
PENGERTIAN NILAI
MUTLAK
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita
diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin
menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak
antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua
tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini NILAInya selalu
positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak
pernah negatif.
Secara
khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahas sesuatu itu nilainya
selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai nilai mutlak.
Jadi, Nilai Mutlak adalah suatu konsep dalam
matematika yang menyatakan selalu positif. Secara
matematis pengertian nilai mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis
dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x.
Nilai mutlak atau disebut juga nilai absolut
menggambarkan jarak nomor di baris nomor dari 0 tanpa mempertimbangkan jumlah
dari arah mana nol terletak. Nilai absolut dari nomor tidak pernah negatif.
Penjelasan Nilai
Mutlak
Misalnya
Nilai absolut dari 5 adalah 5 (jarak dari 0 yaitu 5 unit), Nilai mutlak dari -5
adalah 5 (jarak dari 0: 5 unit). Lihat gambar:
Nilai mutlak dari 2 + -7 adalah 5 (jumlah jarak dari 0: 5
unit). Lihat gambar:
Nilai mutlak dari 0 = 0, kita tidak mengatakan bahwa nilai
absolut tersebut dari angka positif.Nol tidak negatif atau positif. Lihat
gambar:
Mari kita lanjutkan belajar nilai mutlak dengan contohnya di
bawah ini.
Simbol untuk nilai mutlak adalah dua garis lurus, sekitarnya
jumlah atau ekspresi yang mengindikasikan nilai mutlak.
| 6 | = 6 berarti nilai absolut dari 6 adalah 6.
| -6 | = 6 berarti nilai absolut dari negative6 adalah 6.
| -2 – x | berarti nilai absolut dari negative2 dikurangi x.
– | x | berarti nilai negatif dari nilai absolut dari x.
Dari sudut pandang
geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada
garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x
juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.
Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan :
| x | = -x jika x ≥ 0
| x | = -x jika x < 0
Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :
Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan :
| x | = -x jika x ≥ 0
| x | = -x jika x < 0
Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :
Nilai mutlak bilangan positif atau
nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan
dari bilangan tersebut.
Sebagai contoh,
| 7 | = 7
| 0 | = 0
| -4 | =
-(-4) = 4
Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Diawal telah
disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan
real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan
dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.
| x | = a dengan a > 0
Persamaan | x | = a
artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.
Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.
Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak titik tersebut ke nol sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke 0 sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.
| x | < a untuk a > 0
Pertaksamaan | x |
< a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.
Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.
| x | > a untuk a > 0
Pertaksamaan | x |
> a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.
Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.
Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :
SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a. | x | = a ⇔ x = a atau x = -a
b. | x | < a ⇔ -a < x < a
c. | x | > a ⇔ x < -a atau x > a
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3
Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3 ⇔ 2x - 7 = 3 atau 2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3 ⇔ 2x = 10 atau 2x = 4
|2x - 7| = 3 ⇔ x = 5 atau x = 2
Jadi, HP = {2, 5}.
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| = |x + 4|
Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4| ⇔ 2x - 1 = x + 4 atau 2x - 1 = -(x + 4)
|2x - 1| = |x + 4| ⇔ x = 5 atau 3x = -3
|2x - 1| = |x + 4| ⇔ x = 5 atau x = -1
Jadi, HP = {-1, 5}.
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7
Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7 ⇔ -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7 ⇔ -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7 ⇔ -3 < x < 4
Jadi, HP = {-3 < x < 4}.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6
Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x + 2 ≤ -6 atau 4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x ≤ -8 atau 4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ x ≤ -2 atau x ≥ 1
Jadi, HP = {x ≤ -2 atau x ≥ 1}.
Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|
Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|3x - 2| ≥ |2x + 7|
⇔ 3x - 2 ≤ -(2x + 7) atau 3x - 2 ≥ 2x + 7
⇔ 5x ≤ -5 atau x ≥ 9
⇔ x ≤ -1 atau x ≥ 9
Jadi, HP = {x ≤ -1 atau x ≥ 9}
Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 < |x - 1| < 4
Jawab :
Ingat : a < x < b ⇔ x > a dan x < b
Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2 dan |x - 1| < 4
Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2 ⇔ x - 1 < -2 atau x - 1 > 2
|x - 1| > 2 ⇔ x < -1 atau x > 3 ................(1)
Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4 ⇔ -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4 ⇔ -3 < x < 5 ............................(2)
Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7
Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7 ⇔ -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7 ⇔ -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7 ⇔ -3 < x < 4
Jadi, HP = {-3 < x < 4}.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6
Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x + 2 ≤ -6 atau 4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x ≤ -8 atau 4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ x ≤ -2 atau x ≥ 1
Jadi, HP = {x ≤ -2 atau x ≥ 1}.
Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|
Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|3x - 2| ≥ |2x + 7|
⇔ 3x - 2 ≤ -(2x + 7) atau 3x - 2 ≥ 2x + 7
⇔ 5x ≤ -5 atau x ≥ 9
⇔ x ≤ -1 atau x ≥ 9
Jadi, HP = {x ≤ -1 atau x ≥ 9}
Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 < |x - 1| < 4
Jawab :
Ingat : a < x < b ⇔ x > a dan x < b
Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2 dan |x - 1| < 4
Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2 ⇔ x - 1 < -2 atau x - 1 > 2
|x - 1| > 2 ⇔ x < -1 atau x > 3 ................(1)
Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4 ⇔ -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4 ⇔ -3 < x < 5 ............................(2)
Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut
Jadi, HP = {-3 < x < -1 atau 3 < x < 5}
Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan
Nilai Mutlak
Dalam menyelesaikan
persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan
definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi
|ax + b| = ax + b jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b) jika x < -b/a
Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.
Contoh 7
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a. |4x - 3|
b. |2x + 8|
Jawab :
a. Untuk |4x - 3|
|4x - 3| = 4x - 3 jika x ≥ 3/4
|4x - 3| = -(4x - 3) jika x < 3/4
b. Untuk |2x + 8|
|2x + 8| = 2x + 8 jika x ≥ -4
|2x + 8| = -(2x + 8) jika x < -4
Contoh 8
Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...
Jawab :
|x - 2| = x - 2 jika x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2) jika x < 2
Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -x = 3
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi
Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x = 1/3
Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.
|ax + b| = ax + b jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b) jika x < -b/a
Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.
Contoh 7
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a. |4x - 3|
b. |2x + 8|
Jawab :
a. Untuk |4x - 3|
|4x - 3| = 4x - 3 jika x ≥ 3/4
|4x - 3| = -(4x - 3) jika x < 3/4
b. Untuk |2x + 8|
|2x + 8| = 2x + 8 jika x ≥ -4
|2x + 8| = -(2x + 8) jika x < -4
Contoh 8
Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...
Jawab :
|x - 2| = x - 2 jika x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2) jika x < 2
Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -x = 3
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi
Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x = 1/3
Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.
BAB IV
PENUTUP
Kesimpulan
Telah kita ketahui bahwa matematika
adalah ilmu dasar dari hamper semua mata pelajaran, dan sering digunakan pula
dalam kehidupan sehari – hari. dalam materi nilai mutlak merupakan salah satu
ilmu yang biasa digunakan dalam pembangunan,
karena hasil nilai yang selalu positif memudahkan untuk menyelesaikan
berbagi mascam masalah. dan kaerana sifat-sifatnya yang tidak terlalu banyak
dan mudah dipahami. sehingga membuat materi ini sering diaplikasikan kedalam
kehidupan sehari-hari.
Saran
Dalam mempelajari materi nilai
mutlak ini, terlebih dahulu kita harus memahami konsep dari nilai mutlak itu
sendiri, sehingga kita bisa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal baik
persamaan maupun pertidaksamaan nilai mutlak.dengan mempelajari materi nilai
mutlakjuga, kita bisa menerapkanya dalam kehidupan sehari-hari, contohnya ;
jika kita ingin menghitung jarak antar kota yang satu dengan kota yang lain
atau jarak antara dua patok tertentu kita bisa menggunakan konsep nilai mutlak.
Penutup
Sekian materi yang dapat kami
sampaikan, semoga materi yang terkandung dalam makalah ini, bermanfaat bagi
pembaca. Ucapan terimakasih tidak luput kami ucapkan kepada dosen pembimbing
kami (Muthia Dewi, M.Pd) yang telah memberikan arahan kepada kami untuk
menyelesaikan makalah ini, sehingga selesai tepat dengan waktunya . Dan kami
semuapun tau bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik
dan saran kepada pembaca sangatlah kami harapkan utuk penyempurnaan makalah ini
atau berikutnya. Dan diakhir kata kami ucapkan.
DAFTAR PUSTAKA
http://www.space.com/spacelwatch/sun_cam_animated.html
http://www.w3.org/1999/xhtml
http://id.wikepedia.com
http:// Indonesia.org.com
http:// id.pengetahuan.co.id
http://binasetya.co.id
http://bobbyfiles.wordpers.com
Comments
Post a Comment